Подпрограммы выполняют следующие процедуры
– считывание исходных данных задачи и хранение их в разных массивах данных;
– проверка правильности обозначения конечных элементов и отсутствия их перекрытий;
– ввод дополнительных исходных данных и полуавтоматическая генерация сетки конечных элементов для 2- и 3-мерных задач анализа структур конструктивов;
– обнуление глобальной матрицы энергий элементов;
– вычисление матричного представления каждого конечного элемента из имеющегося библиотечного набора;
– внесения вклада матрицы отдельного конечного элемента в глобальную матрицу энергий;
– решение СЛАУ соответственно методом Холесского или итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом к итерациям, дающим квадратичную сходимость;
– построение картины поля, определение максимальных и минимальных значений поля, других величин, представляющих интерес;
– вычисление значений электрических параметров межсоединений (емкостей, индуктивностей);
– вывод результатов анализа.
Некоторые задачи теории электромагнитного поля обладают симметрией, которая позволяет использовать для их описания две, а не три независимые пространственные координаты. Подобные упрощения возможны для тел вращения с осевым или периферическим возбуждением поля. Двумерными моделями хорошо аппроксимируются также протяженные цилиндрические объекты с аксиальным возбуждением.
Однако реальные конструктивы ЭС такой симметрией не обладают, поэтому для их более точного описания потребуются три независимые пространственные координаты и соответствующая им трехмерная постановка задачи. Ниже рассматривается нахождение распределения потенциалов и полей с использованием линейных и билинейных конечных элементов (рис. 2.3).
Для снижения размерности задачи на этапе выполнения дискретизации структуры конструктива в пакете программ реализованы плоские и объемные бесконечные элементы (рис. 2.3). Каждый бесконечный плоский (объемный) элемент в конечно-элементной модели имеет 2 (4) общих узла с одним из обычных элементов первого порядка. Для бесконечных элементов обеспечивается линейное изменение аппроксимирующей функции вдоль стороны (грани), смежной с обычным конечным элементом, и ее линейное уменьшение до нуля вдоль стороны, смежной с бесконечным элементом. Применение бесконечных элементов в анализе открытых структур СБИС и печатных плат позволяет снижать число узлов в конечно-элементной модели до 70.
Разбиение структуры конструктива на конечные элементы связано с определением координат узловых точек элементов. При этом предполагается , что решение задачи с достаточной полнотой представлено значениями параметров, определенными в этих узлах. Точность решения задачи будет зависеть от выбора расстояний между узлами и вида аппроксимирующих функций конечных элементов. Поэтому для решения двух- и трехмерных задач потребуется использовать соответственно n2 и n3 узлов, где n – число узлов по одной координате, соответствующее требуемой точности решения. Очевидно, что при расчете конечно-элементной модели в трехмерном случае потребуются значительно большие затраты ресурсов ЭВМ.
Следует отметить, что время, необходимое для генерации глобальной матрицы энергий, невелико по сравнению с полным временем решения задачи. Основную долю машинных затрат дает этап решения СЛАУ. Обычно решение
двумерных полей печатных плат приводит к матричным уравнениям с 102…104 переменными, а для расчета трехмерных полей в геометрически сложных структурах может потребоваться 103…106 переменных.
Дискретизация дифференциальных уравнений МКЭ дает разреженные матрицы, так как любая узловая переменная связывается только с узловыми переменными того же конечного элемента. Следовательно, количество нулевых элементов в строке матрицы зависит от типа используемых конечных элементов и мало зависит от задачи. Поэтому большие системы уравнений, полученные дискретизацией дифференциальных уравнений, очень разрежены.
Для реализации МКЭ наибольшее распространение нашли программы [69], включающие тот или иной вариант метода Гаусса, состоящего из прямого исключения и обратной подстановки.
В ряде программ [218, 345] применяется метод Холесского на основе разложения глобальной матрицы на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. После выполнения разложения Холесского проводится исключение переменных и обратная подстановка.