Эффективный подход в разработке программного обеспечения для задач конечно-элементного анализа
Другим возможным подходом к снижению затрат при решении СЛАУ является применение итерационных методов решения [169, 172]. Вычислительный процесс в итерационных методах (простой итерации, Гаусса-Зейделя, последовательной верхней релаксации) начинается с задания начального приближения решения, выполнения ряда итераций и заканчивается когда разница между решениями, полученными в двух последовательных приближениях, станет меньше некоторой заданной величины. На каждом шаге итерационного алгоритма необходимо проводить проверку точности полученного решения и невязок правой части. Важно, чтобы итерационный процесс был сходящимся к решению.
Условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы из N уравнений и с N неизвестными выполняется, если 1) абсолютные значения диагональных элементов больше или равны сумме модулей членов строки для всех строк; 2) по крайней мере для одной строки значение диагонального элемента по модулю больше суммы абсолютных значений всех элементов строки. Первое условие выполняется для всех строк в глобальной матрице энергий, соответствующих свободным узловым потенциалам, а второе условие соблюдается для строк с фиксированными потенциалами (граничные узлы и узлы, принадлежащие элементам источникам). Так как задачи анализа полей в печатных платах имеют всегда свободные узлы и хотя бы один фиксированный узел, то итерационный процесс по методу Гаусса-Зейделя сходится.
Особенностью итерационного метода является возможность хранения только ненулевых элементов. При этом число элементов в строке матрицы энергий определяется типом используемых КЭ и составляет 9, 13, 17 и 25 (табл. 2). Также в пакете анализа электрических параметров межсоединений конструктивов не выполняется перенумерация узлов конечно-элементной модели, а элементы матрицы энергий в строке хранятся без упорядочивания их индексов. Для хранения индексов элементов матрицы энергий введен специальный массив.
Выполненные тестовые расчеты КЭ моделей структур [134] с помощью пакета программ анализа параметров межсоединений показывают, что итерационный процесс по методу Гаусса-Зейделя сходится за 8 –15 итераций при относительной точности 0,01 – 0,001. Скорость сходимости практически мало зависит от начального приближения. Однако при поиске решения от начальных значений, превышающих наибольший корень, процесс сходится за меньшее число итераций. Скорость сходимости зависит от нумерации узлов в конечно-элементной модели и процесс сходится на 10 – 30 быстрее, если в строках матрицы энергий увязаны КЭ, имеющие близкие по величине номера узлов.
Учитывая, что значения вектора неизвестных при решении СЛАУ могут быть подобраны близкими по величине друг к другу (обусловленность не хуже 10-1), вопрос сходимости решения при различных обусловленностях системы не исследовался.
Одним из эффективных способов ускорения сходимости в итерационных методах является применение алгоритмов решения со сверхлинейной и квадратичной сходимостью. Однако применение таких алгоритмов возможно, если только процесс уже начал сходиться в нескольких последовательных итерациях. В работе [428] предложено эффективное выражение, использующее для вычисления решения на К-й итерации комбинацию из значений потенциалов, полученных на (К-1), (К-2) и (К-3) итерациях
.
По этому выражению в предложенном пакете программ выполняется вычисление неизвестных потенциалов в области устойчивой сходимости решения. Применение данного алгоритма позволяет сократить число итераций в 2 – 4 раза.
Сравнение машинных затрат при решении СЛАУ типичных КЭ моделей структур печатных плат методом Холесского и итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации по алгоритму квадратичной сходимости подтверждает выигрыш последнего свыше 10 раз.
Таким образом, решение СЛАУ при анализе электро- и магнитостатических полей структур печатных плат методом конечных элементов предлагается проводить итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации (после нескольких подряд сходящихся итераций) по алгоритму с квадратичной сходимостью.
Применение метода конечных элементов при анализе электро- и магнитостатических полей в конструктивах ЭС возможно при условии приемлемой точности в определении электрических параметров межсоединений.
Условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя для системы из N уравнений и с N неизвестными выполняется, если 1) абсолютные значения диагональных элементов больше или равны сумме модулей членов строки для всех строк; 2) по крайней мере для одной строки значение диагонального элемента по модулю больше суммы абсолютных значений всех элементов строки. Первое условие выполняется для всех строк в глобальной матрице энергий, соответствующих свободным узловым потенциалам, а второе условие соблюдается для строк с фиксированными потенциалами (граничные узлы и узлы, принадлежащие элементам источникам). Так как задачи анализа полей в печатных платах имеют всегда свободные узлы и хотя бы один фиксированный узел, то итерационный процесс по методу Гаусса-Зейделя сходится.
Особенностью итерационного метода является возможность хранения только ненулевых элементов. При этом число элементов в строке матрицы энергий определяется типом используемых КЭ и составляет 9, 13, 17 и 25 (табл. 2). Также в пакете анализа электрических параметров межсоединений конструктивов не выполняется перенумерация узлов конечно-элементной модели, а элементы матрицы энергий в строке хранятся без упорядочивания их индексов. Для хранения индексов элементов матрицы энергий введен специальный массив.
Выполненные тестовые расчеты КЭ моделей структур [134] с помощью пакета программ анализа параметров межсоединений показывают, что итерационный процесс по методу Гаусса-Зейделя сходится за 8 –15 итераций при относительной точности 0,01 – 0,001. Скорость сходимости практически мало зависит от начального приближения. Однако при поиске решения от начальных значений, превышающих наибольший корень, процесс сходится за меньшее число итераций. Скорость сходимости зависит от нумерации узлов в конечно-элементной модели и процесс сходится на 10 – 30 быстрее, если в строках матрицы энергий увязаны КЭ, имеющие близкие по величине номера узлов.
Учитывая, что значения вектора неизвестных при решении СЛАУ могут быть подобраны близкими по величине друг к другу (обусловленность не хуже 10-1), вопрос сходимости решения при различных обусловленностях системы не исследовался.
Одним из эффективных способов ускорения сходимости в итерационных методах является применение алгоритмов решения со сверхлинейной и квадратичной сходимостью. Однако применение таких алгоритмов возможно, если только процесс уже начал сходиться в нескольких последовательных итерациях. В работе [428] предложено эффективное выражение, использующее для вычисления решения на К-й итерации комбинацию из значений потенциалов, полученных на (К-1), (К-2) и (К-3) итерациях
.
По этому выражению в предложенном пакете программ выполняется вычисление неизвестных потенциалов в области устойчивой сходимости решения. Применение данного алгоритма позволяет сократить число итераций в 2 – 4 раза.
Сравнение машинных затрат при решении СЛАУ типичных КЭ моделей структур печатных плат методом Холесского и итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации по алгоритму квадратичной сходимости подтверждает выигрыш последнего свыше 10 раз.
Таким образом, решение СЛАУ при анализе электро- и магнитостатических полей структур печатных плат методом конечных элементов предлагается проводить итерационным методом Гаусса-Зейделя с переходом на итерации (после нескольких подряд сходящихся итераций) по алгоритму с квадратичной сходимостью.
Применение метода конечных элементов при анализе электро- и магнитостатических полей в конструктивах ЭС возможно при условии приемлемой точности в определении электрических параметров межсоединений.
Написал Admin- Просмотров: 907