Метод нормальных волн во временной области
Напряжения и токи линий для собственной моды можно представить в виде
[vm(x,t)] = gm(t x/cm), m = 1,…,N; (2.33)
[im(x,t)] = ± gm(t x/cm), m = 1,…,N, (2.34)
где индекс m указывает на m-ю собственную моду; cm – скорость распространения в линии сигнала m-й собственной моды; и – два набора констант, выражающих относительные амплитуды напряжений и токов проводника; gm(t) – произвольная функция времени, которую называют интенсивностью моды. Верхние знаки в приведенных выше соотношениях соответствуют сигналу собственной моды, проходящему от генератора к нагрузочному концу, то есть в положительном направлении оси x. Этот тип собственной волны обычно называют падающей волной. Нижние
знаки соответствуют сигналу собственной моды, проходящему в противоположном направлении, то есть отраженной волне.
Для линии передачи с N сигнальными проводниками в общем случае существует N линейно независимых векторов и соответствующих векторов , которые с точностью до мультипликативной постоянной являются единственными, то есть существует N различных собственных мод. Каждая мода имеет свою собственную скорость распространения. Однако в некоторых случаях эти скорости могут совпадать (например, если диэлектрик линии однородный), и векторы напряжений и токов мод не будут линейно независимыми.
Заметим, что и связаны уравнениями (2.21) и (2.22), в которых надо положить [R]=[0] и [G]=[0]. Кроме того, соотношения (2.33) и (2.34) представляют собой частное решение волновых уравнений (2.31) и (2.32).
Подставляя решение (2.33) в уравнение (2.31), получаем
{ [U] –[L][B]} gm(t x/cm) = 0, (2.35)
где [U] – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (2.35) имело нетривиальные решения относительно напряжений на линии, определитель первого члена должен обращаться в нуль, то есть
det{ [U] –[L][B]} = 0. (2.36)
Уравнение (2.36) представляет собой характеристическое уравнение, а 1/c2m – собственное значение матрицы [L][B]. Поэтому мы в праве считать собственным вектором матрицы [L][B], соответствуюшим собственному значению 1/c2m. Поскольку [L][B] является (N×M)-матрицей, будет существовать N собственных значений (необязательно различных) и N собственных векторов. Эти собственные значения и собственные векторы можно вычислить с помощью стандартных методов.
Аналогичным образом путем подстановки решения (2.34) можно преобразовать уравнение (2.32) в характеристическое уравнение
det{ [U] –[B][L]} = 0. (2.37)
В этом случае находится – собственный вектор матрицы [B][L], соответствующий собственному значению 1/c2m. Заметим, что собственные значения матриц [L][B] и [B][L] совпадают, но собственные векторы в общем случае различны.
Одновременный анализ линии и нагружающих цепей можно осуществить двумя способами. Один из них заключается в учете нагружающих цепей при
анализе линии. В этом случае необходимо в каждый момент
времени знать эквивалентные параметры нагружающих цепей, наблюдаемых
со стороны линии передачи. Этими параметрами могут служить, например, мгновенные Z-параметры нагружающих цепей. Другой способ состоит в учете линии передачи при анализе нагружающих цепей. В этом случае необходимо знать мгновенные параметры линии, наблюдаемые со стороны обеих нагружающих цепей.
Рассмотрим первый способ. Предположим, что известно эквивалентное представление нагружающих цепей по теореме Тевенина [70], т. е. известны матрицы сопротивлений [RG] и [RL], а также векторы напряжений холостого хода [υG(t)] и [υL(t)]. Заметим, что допустимо считать матрицы сопротивлений зависимыми от времени. Такие эквивалентные мгновенные
параметры могут определяться не только для чисто резистивных линейных цепей, которые могут содержать генераторы, но и для любых видов линейных цепей, даже инерционных.
Объединяя выражения (2.25) и (2.26) с первыми частями формул (2.45) и (2.46) и с выражениями (2.49) и (2.50), получаем следующие соотношения:
[vinc(0,t)] = [τG][vG(t)]+[ρG][vref(0,t)], (2.54)
[vref(D,t)] = [τL][vL(t)]+[ρL][vinc(D,t)]. (2.55)
Здесь [τG], [ρG], [τL] и [ρL] называются соответственно генераторным коэффициентом передачи, генераторным коэффициентом отражения, нагрузочным коэффициентом передачи и нагрузочным коэффициентом отражения.
Использование модовых коэффициентов передачи и отражения выгодно тем, что это дает возможность непосредственно фиксировать отдельные моды,
не определяя напряжения и токи проводников. Однако если известны модовые сигналы, то напряжения и токи проводников в любой точке можно рассчитать по формулам (2.45) и (2.46).
Полагая Z-параметры нагрузочных цепей известными, можно далее определить интенсивности мод [ginc(x,t)] и [gref(x,t)]. Если параметры нагрузочных цепей заданы в аналитической форме, то интенсивности мод можно получить аналитическим способом. Однако для каждой моды потребуется проследить за волной, вышедшей из одного конца линии, достигшей другого ее конца, отражающейся от этого конца, прошедшей к первому концу, вновь отразившейся от него, и т. д. При каждом отражении любая мода, как правило, возбуждает эту же моду и все остальные моды. В случае нескольких прохождений сигнала по линии аналитическая процедура может стать довольно трудоемкой и непригодной для реализации на ЭВМ.
Если аналитический способ выделения мод оказывается практически невыполнимым, то простой для вычислений и эффективный алгоритм выделения мод можно получить, используя для этой цели лишь одни
временные отсчеты интенсивностей мод. Будем полагать, что эта дискретизация осуществляется через равные интервалы Δt. Возьмем также
в качестве начальной точку t=0 и будем считать, что справедливы начальные условия. В этом случае отсчеты интенсивностей [ginc(0,kΔt)] и [gref(D,kΔt)] k=0,1,… , вначале получить легко, так как векторы напряжений холостого хода [υG(kΔt)] и [υL(kΔt)] известны. (Предполагается, что генераторы
имеются у обоих концов линии.) В этот начальный период времени падающая волна еще не достигла нагрузочного конца, а отраженная волна не достигла генераторного конца. Однако по истечении одного периода прохождения сигнала по линии, который для каждой моды равен D/cm, падающая
и отраженная волны появятся соответственно у нагрузочного и генераторного концов. Отсчеты этих волн уже известны, так как их интенсивности в точности те же, что и у конца линии, из которого они вышли, но имеется только запаздывание во времени на D/cm. Следовательно, отсчеты волн, вышедших из концов линии, вновь легко определить по формулам (2.60) и (2.61). В этом случае легко выделить моды после сколь угодно большого интервала времени. Достаточно занести отсчеты интенсивностей [ginc(0,t)] и [gref(D,t)]
в соответствующие сдвигающие регистры и вычислить напряжения и (или) токи проводников на обоих концах линии. Длина регистров (т. е. число отсчетов, занесенных в эти регистры) должна быть такой, чтобы охватываемый отсчетами временной интервал (SΔt) был длиннее наибольшего периода прохождения волны определенной моды от одного конца линии к другому, т. е.
SΔt > { D/cm}. (2.66)
Единственная трудность, связанная с таким методом выделения моды, заключается в том, что в общем случае величина D/cm, m=l…, N, не кратна Δt. Поэтому отсчеты [ginc(D,kΔt)] нельзя получить непосредственно из отсчетов [ginc(D,kΔt)], просто задерживая последние. Аналогичный вывод справедлив
и в отношении процедуры получения отсчетов [gref(0,kΔt)] из отсчетов [gref(D,kΔt)]. Однако можно прибегнуть к интерполяции отсчетных значений. Так, если применить линейную интерполяцию для момента t в интервале
kΔt > t > (k+1)Δt, (2.67)
то получим
(0,t) = (0,(k+1)Δt) – (0,kΔt), (2.68)
(D,t) = (0,(k+1)Δt) – (0,kΔt). (2.69)
Уравнения (2.68) и (2.69) позволяют найти интерполированные значения вышедших волн, необходимые для получения волн, прошедших к другому концу (конечно, задержанных на D/cm).
Описанная методика неприменима в случае нелинейных нагрузочных цепей, так как для таких цепей нельзя получить эквивалентную цепь по теореме
Тевенина (т. е. мгновенные Z-параметры). В данном случае необходима специальная программа, дающая решение для нагрузочных цепей, причем, проводя анализ этих цепей, необходимо учитывать и влияние линии передачи, а также знать мгновенные Z-параметры линии передачи со стороны нагрузочных цепей. Нетрудно показать, что линию без потерь можно
со стороны ее выводов представить двумя эквивалентными цепями, каждая
из которых соответствует одному концу линии. Это — чисто резистивные цепи с независимыми от времени сопротивлениями, причем матрицы сопротивлений этих цепей совпадают с матрицей характеристических импедансов линии передачи. Последовательно с такой резистивной цепью включены идеальные генераторы напряжения с ЭДС, равной удвоенному напряжению поступающей на данную пару выводов волны. Это эквивалентное представление показано
на рис. 2.18.
Анализ нагружающих цепей должен проводиться во временной области (что для нелинейных цепей представляет собой практически единственную возможность) с помощью некоторого варианта пошагового во времени метода. При этом легко учесть модель линии, так как в этом случае на каждом временном шаге в распоряжении имеется эквивалент линии. Заметим,
что ЭДС эквивалентной цепи известны, так как они выражаются через задержанные интенсивности мод, выходящих из противоположных концов линии (задержки равны D/cm). Для того чтобы подготовить данные для очередных временных шагов, необходимо найти (и запомнить) сигналы, вышедшие из концов линии. Таким образом, волна напряжения, вышедшая
от генераторного конца по направлению к нагрузочному концу, будет определяться выражением
[vinc(0,t)] = [v(0,t)] − [vref(0,t)], (2.70)
тогда как волна напряжения, вышедшая от нагрузки к генераторному концу, будет определяться формулой
[vref(D,t)] = [v(D,t)] − [vinc(D,t)]. (2.71)
Заметим, что в приведенных соотношениях [υref(0,t)] и [υinc(D,t)] известны,
a [υ(0,t)] и [υ(D,t)] получаются в ходе решения, вырабатываемого для генераторной и нагрузочной цепей, и соответствуют текущему временному отсчету. Зная [υinc(0,t)] и [υref(D,t)], можно из уравнения (2.45) найти [ginc(0,t)] и [gref(0,t)] и проследить за модами при перемещении к другому концу линии.
Получение решения в случае нелинейных цепей без инерционных элементов сводится к решению на каждом временном шаге системы нелинейных уравнений, которое можно осуществить с помощью того или иного итеративного метода (например, метода Ньютона-Рафсона или одного из методов оптимизации). Решение для нелинейных цепей с инерционными элементами основано на решении нелинейных дифференциальных уравнений, для чего и в данном случае можно воспользоваться рядом приемов.
[vm(x,t)] = gm(t x/cm), m = 1,…,N; (2.33)
[im(x,t)] = ± gm(t x/cm), m = 1,…,N, (2.34)
где индекс m указывает на m-ю собственную моду; cm – скорость распространения в линии сигнала m-й собственной моды; и – два набора констант, выражающих относительные амплитуды напряжений и токов проводника; gm(t) – произвольная функция времени, которую называют интенсивностью моды. Верхние знаки в приведенных выше соотношениях соответствуют сигналу собственной моды, проходящему от генератора к нагрузочному концу, то есть в положительном направлении оси x. Этот тип собственной волны обычно называют падающей волной. Нижние
знаки соответствуют сигналу собственной моды, проходящему в противоположном направлении, то есть отраженной волне.
Для линии передачи с N сигнальными проводниками в общем случае существует N линейно независимых векторов и соответствующих векторов , которые с точностью до мультипликативной постоянной являются единственными, то есть существует N различных собственных мод. Каждая мода имеет свою собственную скорость распространения. Однако в некоторых случаях эти скорости могут совпадать (например, если диэлектрик линии однородный), и векторы напряжений и токов мод не будут линейно независимыми.
Заметим, что и связаны уравнениями (2.21) и (2.22), в которых надо положить [R]=[0] и [G]=[0]. Кроме того, соотношения (2.33) и (2.34) представляют собой частное решение волновых уравнений (2.31) и (2.32).
Подставляя решение (2.33) в уравнение (2.31), получаем
{ [U] –[L][B]} gm(t x/cm) = 0, (2.35)
где [U] – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (2.35) имело нетривиальные решения относительно напряжений на линии, определитель первого члена должен обращаться в нуль, то есть
det{ [U] –[L][B]} = 0. (2.36)
Уравнение (2.36) представляет собой характеристическое уравнение, а 1/c2m – собственное значение матрицы [L][B]. Поэтому мы в праве считать собственным вектором матрицы [L][B], соответствуюшим собственному значению 1/c2m. Поскольку [L][B] является (N×M)-матрицей, будет существовать N собственных значений (необязательно различных) и N собственных векторов. Эти собственные значения и собственные векторы можно вычислить с помощью стандартных методов.
Аналогичным образом путем подстановки решения (2.34) можно преобразовать уравнение (2.32) в характеристическое уравнение
det{ [U] –[B][L]} = 0. (2.37)
В этом случае находится – собственный вектор матрицы [B][L], соответствующий собственному значению 1/c2m. Заметим, что собственные значения матриц [L][B] и [B][L] совпадают, но собственные векторы в общем случае различны.
Одновременный анализ линии и нагружающих цепей можно осуществить двумя способами. Один из них заключается в учете нагружающих цепей при
анализе линии. В этом случае необходимо в каждый момент
времени знать эквивалентные параметры нагружающих цепей, наблюдаемых
со стороны линии передачи. Этими параметрами могут служить, например, мгновенные Z-параметры нагружающих цепей. Другой способ состоит в учете линии передачи при анализе нагружающих цепей. В этом случае необходимо знать мгновенные параметры линии, наблюдаемые со стороны обеих нагружающих цепей.
Рассмотрим первый способ. Предположим, что известно эквивалентное представление нагружающих цепей по теореме Тевенина [70], т. е. известны матрицы сопротивлений [RG] и [RL], а также векторы напряжений холостого хода [υG(t)] и [υL(t)]. Заметим, что допустимо считать матрицы сопротивлений зависимыми от времени. Такие эквивалентные мгновенные
параметры могут определяться не только для чисто резистивных линейных цепей, которые могут содержать генераторы, но и для любых видов линейных цепей, даже инерционных.
Объединяя выражения (2.25) и (2.26) с первыми частями формул (2.45) и (2.46) и с выражениями (2.49) и (2.50), получаем следующие соотношения:
[vinc(0,t)] = [τG][vG(t)]+[ρG][vref(0,t)], (2.54)
[vref(D,t)] = [τL][vL(t)]+[ρL][vinc(D,t)]. (2.55)
Здесь [τG], [ρG], [τL] и [ρL] называются соответственно генераторным коэффициентом передачи, генераторным коэффициентом отражения, нагрузочным коэффициентом передачи и нагрузочным коэффициентом отражения.
Использование модовых коэффициентов передачи и отражения выгодно тем, что это дает возможность непосредственно фиксировать отдельные моды,
не определяя напряжения и токи проводников. Однако если известны модовые сигналы, то напряжения и токи проводников в любой точке можно рассчитать по формулам (2.45) и (2.46).
Полагая Z-параметры нагрузочных цепей известными, можно далее определить интенсивности мод [ginc(x,t)] и [gref(x,t)]. Если параметры нагрузочных цепей заданы в аналитической форме, то интенсивности мод можно получить аналитическим способом. Однако для каждой моды потребуется проследить за волной, вышедшей из одного конца линии, достигшей другого ее конца, отражающейся от этого конца, прошедшей к первому концу, вновь отразившейся от него, и т. д. При каждом отражении любая мода, как правило, возбуждает эту же моду и все остальные моды. В случае нескольких прохождений сигнала по линии аналитическая процедура может стать довольно трудоемкой и непригодной для реализации на ЭВМ.
Если аналитический способ выделения мод оказывается практически невыполнимым, то простой для вычислений и эффективный алгоритм выделения мод можно получить, используя для этой цели лишь одни
временные отсчеты интенсивностей мод. Будем полагать, что эта дискретизация осуществляется через равные интервалы Δt. Возьмем также
в качестве начальной точку t=0 и будем считать, что справедливы начальные условия. В этом случае отсчеты интенсивностей [ginc(0,kΔt)] и [gref(D,kΔt)] k=0,1,… , вначале получить легко, так как векторы напряжений холостого хода [υG(kΔt)] и [υL(kΔt)] известны. (Предполагается, что генераторы
имеются у обоих концов линии.) В этот начальный период времени падающая волна еще не достигла нагрузочного конца, а отраженная волна не достигла генераторного конца. Однако по истечении одного периода прохождения сигнала по линии, который для каждой моды равен D/cm, падающая
и отраженная волны появятся соответственно у нагрузочного и генераторного концов. Отсчеты этих волн уже известны, так как их интенсивности в точности те же, что и у конца линии, из которого они вышли, но имеется только запаздывание во времени на D/cm. Следовательно, отсчеты волн, вышедших из концов линии, вновь легко определить по формулам (2.60) и (2.61). В этом случае легко выделить моды после сколь угодно большого интервала времени. Достаточно занести отсчеты интенсивностей [ginc(0,t)] и [gref(D,t)]
в соответствующие сдвигающие регистры и вычислить напряжения и (или) токи проводников на обоих концах линии. Длина регистров (т. е. число отсчетов, занесенных в эти регистры) должна быть такой, чтобы охватываемый отсчетами временной интервал (SΔt) был длиннее наибольшего периода прохождения волны определенной моды от одного конца линии к другому, т. е.
SΔt > { D/cm}. (2.66)
Единственная трудность, связанная с таким методом выделения моды, заключается в том, что в общем случае величина D/cm, m=l…, N, не кратна Δt. Поэтому отсчеты [ginc(D,kΔt)] нельзя получить непосредственно из отсчетов [ginc(D,kΔt)], просто задерживая последние. Аналогичный вывод справедлив
и в отношении процедуры получения отсчетов [gref(0,kΔt)] из отсчетов [gref(D,kΔt)]. Однако можно прибегнуть к интерполяции отсчетных значений. Так, если применить линейную интерполяцию для момента t в интервале
kΔt > t > (k+1)Δt, (2.67)
то получим
(0,t) = (0,(k+1)Δt) – (0,kΔt), (2.68)
(D,t) = (0,(k+1)Δt) – (0,kΔt). (2.69)
Уравнения (2.68) и (2.69) позволяют найти интерполированные значения вышедших волн, необходимые для получения волн, прошедших к другому концу (конечно, задержанных на D/cm).
Описанная методика неприменима в случае нелинейных нагрузочных цепей, так как для таких цепей нельзя получить эквивалентную цепь по теореме
Тевенина (т. е. мгновенные Z-параметры). В данном случае необходима специальная программа, дающая решение для нагрузочных цепей, причем, проводя анализ этих цепей, необходимо учитывать и влияние линии передачи, а также знать мгновенные Z-параметры линии передачи со стороны нагрузочных цепей. Нетрудно показать, что линию без потерь можно
со стороны ее выводов представить двумя эквивалентными цепями, каждая
из которых соответствует одному концу линии. Это — чисто резистивные цепи с независимыми от времени сопротивлениями, причем матрицы сопротивлений этих цепей совпадают с матрицей характеристических импедансов линии передачи. Последовательно с такой резистивной цепью включены идеальные генераторы напряжения с ЭДС, равной удвоенному напряжению поступающей на данную пару выводов волны. Это эквивалентное представление показано
на рис. 2.18.
Анализ нагружающих цепей должен проводиться во временной области (что для нелинейных цепей представляет собой практически единственную возможность) с помощью некоторого варианта пошагового во времени метода. При этом легко учесть модель линии, так как в этом случае на каждом временном шаге в распоряжении имеется эквивалент линии. Заметим,
что ЭДС эквивалентной цепи известны, так как они выражаются через задержанные интенсивности мод, выходящих из противоположных концов линии (задержки равны D/cm). Для того чтобы подготовить данные для очередных временных шагов, необходимо найти (и запомнить) сигналы, вышедшие из концов линии. Таким образом, волна напряжения, вышедшая
от генераторного конца по направлению к нагрузочному концу, будет определяться выражением
[vinc(0,t)] = [v(0,t)] − [vref(0,t)], (2.70)
тогда как волна напряжения, вышедшая от нагрузки к генераторному концу, будет определяться формулой
[vref(D,t)] = [v(D,t)] − [vinc(D,t)]. (2.71)
Заметим, что в приведенных соотношениях [υref(0,t)] и [υinc(D,t)] известны,
a [υ(0,t)] и [υ(D,t)] получаются в ходе решения, вырабатываемого для генераторной и нагрузочной цепей, и соответствуют текущему временному отсчету. Зная [υinc(0,t)] и [υref(D,t)], можно из уравнения (2.45) найти [ginc(0,t)] и [gref(0,t)] и проследить за модами при перемещении к другому концу линии.
Получение решения в случае нелинейных цепей без инерционных элементов сводится к решению на каждом временном шаге системы нелинейных уравнений, которое можно осуществить с помощью того или иного итеративного метода (например, метода Ньютона-Рафсона или одного из методов оптимизации). Решение для нелинейных цепей с инерционными элементами основано на решении нелинейных дифференциальных уравнений, для чего и в данном случае можно воспользоваться рядом приемов.
Написал Admin- Просмотров: 845