Рассмотрим линейную пассивную цепь с n парами полюсов (входами). Пусть к j-му входу подключен идеальный генератор напряжения с ЭДС υj0(t), а все остальные входы замкнуты накоротко. Рассмотрим теперь ту же цепь при ее возбуждении идеальными генераторами напряжения, подключенными ко всем парам полюсов. Тогда, согласно принципу суперпозиции, можно записать
ik(t) = igkj(t - θ) vj0(θ)dθ. (2.109)
Интеграл свертки записан в предположении, что все возбуждающие сигналы начинаются после момента времени t = 0. Следует отметить, что, согласно теореме компенсации, напряжения на полюсах цепи (известные) могут быть
представлены возбуждающими цепь идеальными генераторами независимо
от того, что на самом деле присоединено к ее полюсам.
Согласно изложенному способу, необходимо присоединить между одним из проводников линии (у одного из ее концов) и земляным проводом идеальный
генератор дельта-функции, закоротить остальные полюса линии, провести анализ методом нормальных волн в частотной области и найти токи в проводниках, после чего выполнить обратные преобразования Фурье
и получить функции Грина. Эти операции следует повторить для всех проводников конструктива.
Однако существует ряд трудностей, которые должны быть учтены.
Во-первых, анализ линии, как правило, проводится только численным методом на конечном числе дискретных частот. Функции Грина, в свою очередь, должны дискретизироваться во временной области и иметь конечную длительность. Во-вторых, необходимо выполнить операцию свертки функций Грина с напряжениями на входах линии, которая также проводится численным способом. На операцию свертки приходятся здесь наибольшие затраты времени, и поэтому число отсчетов функций Грина должно выбираться
по возможности наименьшим. Если анализ отклика линии с нагружающими цепями должен охватывать интервал времени, превышающий несколько периодов прохождения сигнала по линии, то это может вызвать особую трудность. Так, при закороченных входах линии (как это требуется при вычислении функций Грина) длительность отклика линии превышает много периодов прохождения сигнала даже для линии с умеренными потерями. Отклик же линии без потерь при закороченных входах длится бесконечно! Таким образом, для хранения функций Грина линии нужны очень длинные регистры, охватывающие такой же временной интервал, как и интервал
времени, на протяжении которого требуется анализировать отклик линии, нагруженной произвольными нелинейными цепями. Проблема здесь, конечно, связана не только с объемом памяти, но и с очень большой длительностью вычислений [365].
Длины упомянутых регистров будут сравнительно небольшими, если удастся сократить длительность функций Грина всего лишь до нескольких периодов прохождения сигнала по линии. Однако это возможно только при достаточно хорошем согласовании линии. Например, если линия без потерь нагружена идеально согласованными цепями, то длительность отклика на воздействие генератора дельта-функции, присоединенного к одному из входов линии, составит всего один отсчет для всех полюсов на конце линии, где подключен генератор, тогда как у полюсов на другом конце линии отклик закончится после одного периода прохождения сигнала по линии. Примерно то же самое будет наблюдаться в случае линий с умеренно низкими потерями (которые обычно и используются на практике).
Руководствуясь этим примером, можно искусственно включить у каждого полюса (т. е. в проводники у генераторного и нагрузочного концов) линейное частотно-независимое сопротивление и тем самым существенно снизить отражения от обоих концов линии по сравнению с тем, что происходит при простом закорачивании полюсов. Целесообразно выбрать эти сопротивления равными соответствующим диагональным элементам матрицы характеристических импедансов линии [Zc], т. е. Zckk в предположении, что линия не имеет потерь и [R]=[0] и [G]=[0]. Дополненную этими сопротивлениями линию передачи можно рассматривать как новую цепь с 2n парами полюсов (рис. 2.24), функции Грина которой можно вычислить, как описано выше. При этом в практических вариантах линий с потерями реакция (при вычислении функций Грина) оказывается в пределах 3–6 периодов прохождения сигнала по линии и этими же пределами должна ограничиваться длина применяемых для хранения функций Грина регистров.
Однако включение этих сопротивлений изменяет характеристики линии со стороны нагрузочных цепей. Для восстановления первоначальных характеристик приходится вводить последовательно с нагрузочными полюсами отрицательные сопротивления, равные Zckk, как показано на рис. 2.24. 3аметим,
что величины этих сопротивлений не зависят от частоты, и поэтому они
не усложняют анализ нагружающих цепей во временной области.
Рассматривая теперь дополненную линию передачи (линию с резисторами Zckk как цепь с n=2N парами полюсов), можно определить функции Грина. Зная
эти функции, можно затем связать токи в проводниках линии с напряжениями на полюсах υυ(t) с помощью соотношения (2.109), в котором υj0(t) следует заменить на υυj(t). Для того чтобы отличать пары полюсов линии у
генераторного конца от пар полюсов у нагрузочного конца, соотношение (2.109) можно переписать в виде
ikG(t) = , k = 1,…,N, (2.110)
ikL(t) = , k = 1,…,N. (2.111)
Здесь – функция Грина, выражающая ток проводника k при воздействии генератора дельта-функции на проводник j у того же конца линии, тогда как соответствует случаю, когда ток вычисляется на одном конце линии, а возбуждение производится у другого конца. Очевидно, что в силу симметрии
линии передачи не играет роли, какой конец линии считать первым,
а какой — вторым.
Если теперь соединить нагружающие цепи, дополненные отрицательными сопротивлениями, с дополненной линией (рис. 2.24), то токи проводников и напряжения между соединениями Zckk и Zckk и землей будут связаны соотношениями (2.110) и (2.111). Заметим, что последовательная комбинация Zckk и Zckk по существу представляет собой короткозамкнутую цепь, как это и должно быть, так как и со стороны линии, и со стороны нагружающих цепей введение этих фиктивных сопротивлений ничего не должно менять. Для
краткости будем называть напряжения υυ(t) виртуальными оконечными напряжениями.
Отметим, что в первую сумму в формулах (2.114) и (2.115) входят виртуальные оконечные напряжения только для t=gΔt, т. е. того же момента времени,
для которого вычисляется ток в левой части, тогда как во вторую сумму (двойную) входят только предыдущие значения напряжений, т. е. отражающие историю цепи. Замечая далее, что для заданной линии передачи величины
представляют собой константы, первую сумму при k = l,…, N можно
записать в форме [Gυd][υυ], где [υυ]—вектор-столбец виртуальных оконечных напряжений, a [Gυd]—квадратная (NxN)-матрица с элементами . Матрицу [Gυd] можно рассматривать как матрицу проводимостей, определяющих мгновенную (динамическую) входную проводимость линии передачи
со стороны виртуальных зажимов. Двойная сумма характеризует ток.
Его можно рассматривать как ток генератора тока, зависящего
не от мгновенных значений токов и напряжений линии передачи,
а от их предыдущих значений. Если вновь взять величины k = l,…, N,
то эти независимые токи можно будет представить столбцевой матрицей [Ic], где индекс «с» указывает на то, что эти токи получаются в результате операции свертки функций Грина с виртуальными оконечными напряжениями. Таким образом, формулы (2.114) и (2.115) можно записать
в следующей краткой форме:
[iG(q)] = [Gvd][vvG(q)] + [icG(q-1)], (2.116)
[iL(q)] = [Gvd][vvL(q)] + [icL(q-1)]. (2.117)
Решая далее уравнения (2.116) и (2.117) относительно виртуальных напряжений при t=gΔt, получаем
[vvG(q)] = [Gvd]-1[iG(q)] – [Gvd]-1[icG(q-1)], (2.118)
[vvL(q)] = [Gvd]-1[iL(q)] – [Gvd]-1[icL(q-1)], (2.119)
где [iG] и [iL] — вектор-столбцы оконечных токов. Действительные (истинные) оконечные напряжения у плеч линии передачи получаются в виде
[vG(q)] = [vvG(q)] + diag(-Zc)[iG(q)] = [Rd][iG(q)] – [Gvd]-1[icG(q-1)], (2.120)
[vL(q)] = [vvL(q)] + diag(-Zc)[iL(q)] = [Rd][iL(q)] – [Gvd]-1[icL(q-1)], (2.121)
где diag(-Zc) – диагональная матрица, элементы которой равны – Zckk, a
[Rd] = [Gvd]-1 + diag(-Zc) (2.122)
матрица динамических входных сопротивлений линии со стороны нагружающих цепей. Член – [Gvd]-1[ic] можно рассматривать как вектор напряжений холостого хода линии. Таким образом, нам удалось получить мгновенные Z-параметры эквивалента линии со стороны нагружающих цепей (недополненных). Следует отметить, что матрица динамических входных
сопротивлений постоянна во времени. Для линии без потерь
с частотно-независимыми параметрами эта матрица равна матрице характеристических импедансов.
После определения Z-параметров эквивалентной линии во временной области анализ становится аналогичным анализу отклика линии без потерь методом нормальных волн. Единственное различие между этими двумя случаями связано с методом вычисления векторов напряжений холостого хода: в методе нормальных волн они вычислялись путем прослеживания распространения мод во временной области, здесь же они определяются
с помощью операции свертки. Таким образом, все, что касается объединения решений для линии передачи и для нагружающих цепей, остается справедливым и для межсоединений с потерями.
Следовательно, проблема метода функций Грина связана со значительным объемом памяти ЭВМ и с очень большой длительностью вычислений [365]. Этот метод применим к наиболее общему случаю межсоединений квази-ТЕМ-типа с произвольными нагрузками, но по быстродействию заметно уступает методу нормальных волн и методу пошагового продвижения.